第1章 函数与极限

1.1 函数的定义

设数集 $D \subset \mathbb{R}$，则称映射 $f: D \to \mathbb{R}$ 为定义在 $D$ 上的函数，记作：

$y = f(x), \quad x \in D$

其中 $x$ 称为自变量，$y$ 称为因变量，$D$ 称为定义域，记作 $D_f$，即 $D_f = D$。

1.2 数列极限的定义

设 $\{x_n\}$ 为一数列，如果存在常数 $a$，对于任意给定的正数 $\varepsilon$（不论它多么小），总存在正整数 $N$，使得当 $n > N$ 时，不等式

$|x_n - a| < \varepsilon$

都成立，那么就称常数 $a$ 是数列 $\{x_n\}$ 的极限，或者称数列 $\{x_n\}$ 收敛于 $a$，记作：

$\lim_{n \to \infty} x_n = a$ 或 $x_n \to a \ (n \to \infty)$

1.3 重要极限

$\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1$
$\lim_{x \to \infty} \left(1 + \frac{1}{x}\right)^x = e$

例题

求极限：$\lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos x}{x^2}$

解：

$\lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos x}{x^2} = \lim_{x \to 0} \frac{2\sin^2 \frac{x}{2}}{x^2} = \frac{1}{2} \lim_{x \to 0} \left(\frac{\sin \frac{x}{2}}{\frac{x}{2}}\right)^2 = \frac{1}{2}$

第2章 导数与微分

2.1 导数的定义

设函数 $y = f(x)$ 在点 $x_0$ 的某个邻域内有定义，当自变量 $x$ 在 $x_0$ 处取得增量 $\Delta x$（点 $x_0 + \Delta x$ 仍在该邻域内）时，相应地，因变量取得增量 $\Delta y = f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)$；如果 $\Delta y$ 与 $\Delta x$ 之比当 $\Delta x \to 0$ 时的极限存在，则称函数 $y = f(x)$ 在点 $x_0$ 处可导，并称这个极限为函数 $y = f(x)$ 在点 $x_0$ 处的导数，记作 $f'(x_0)$：

$f'(x_0) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta y}{\Delta x} = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)}{\Delta x}$

2.2 基本求导公式

$(C)' = 0 \quad (C为常数)$
$(x^\mu)' = \mu x^{\mu-1}$
$(\sin x)' = \cos x$
$(\cos x)' = -\sin x$
$(e^x)' = e^x$
$(\ln x)' = \frac{1}{x}$

2.3 微分的定义

设函数 $y = f(x)$ 在某区间内有定义，$x_0$ 及 $x_0 + \Delta x$ 在这区间内，如果函数的增量

$\Delta y = f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)$

可表示为

$\Delta y = A\Delta x + o(\Delta x)$

其中 $A$ 是不依赖于 $\Delta x$ 的常数，那么称函数 $y = f(x)$ 在点 $x_0$ 是可微的，而 $A\Delta x$ 叫做函数 $y = f(x)$ 在点 $x_0$ 相应于自变量增量 $\Delta x$ 的微分，记作 $dy$，即：

$dy = A\Delta x = f'(x_0)dx$

第3章 不定积分与定积分

3.1 不定积分的定义

如果在区间 $I$ 内，可导函数 $F(x)$ 的导函数为 $f(x)$，即对任一 $x \in I$，都有

$F'(x) = f(x)$ 或 $dF(x) = f(x)dx$

那么函数 $F(x)$ 就称为 $f(x)$（或 $f(x)dx$）在区间 $I$ 内的一个原函数。

在区间 $I$ 内，函数 $f(x)$ 的带有任意常数项的原函数称为 $f(x)$（或 $f(x)dx$）在区间 $I$ 内的不定积分，记作：

$\int f(x)dx = F(x) + C$

3.2 牛顿-莱布尼茨公式

如果函数 $F(x)$ 是连续函数 $f(x)$ 在区间 $[a, b]$ 上的一个原函数，则

$\int_{a}^{b} f(x)dx = F(b) - F(a)$

3.3 定积分的几何意义

如果在 $[a, b]$ 上 $f(x) \geq 0$，则定积分 $\int_{a}^{b} f(x)dx$ 表示由曲线 $y = f(x)$、直线 $x = a$、$x = b$ 以及 $x$ 轴所围成的曲边梯形的面积。

第4章 多元函数微积分

4.1 偏导数的定义

设函数 $z = f(x, y)$ 在点 $(x_0, y_0)$ 的某一邻域内有定义，当 $y$ 固定在 $y_0$ 而 $x$ 在 $x_0$ 处有增量 $\Delta x$ 时，相应地函数有增量

$f(x_0 + \Delta x, y_0) - f(x_0, y_0)$

如果 $\lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x_0 + \Delta x, y_0) - f(x_0, y_0)}{\Delta x}$ 存在，则称此极限为函数 $z = f(x, y)$ 在点 $(x_0, y_0)$ 处对 $x$ 的偏导数，记作：

$\frac{\partial z}{\partial x}\bigg|_{(x_0,y_0)}$ 或 $f_x(x_0, y_0)$

4.2 二重积分的定义

设 $f(x, y)$ 是有界闭区域 $D$ 上的有界函数，将闭区域 $D$ 任意分成 $n$ 个小闭区域 $\Delta \sigma_1, \Delta \sigma_2, \dots, \Delta \sigma_n$，其中 $\Delta \sigma_i$ 表示第 $i$ 个小闭区域，也表示它的面积。在每个 $\Delta \sigma_i$ 上任取一点 $(\xi_i, \eta_i)$，作乘积 $f(\xi_i, \eta_i)\Delta \sigma_i$ ($i = 1, 2, \dots, n$)，并作和 $\sum_{i=1}^{n} f(\xi_i, \eta_i)\Delta \sigma_i$。如果当各小闭区域的直径中的最大值 $\lambda$ 趋近于零时，这和式的极限存在，则称此极限为函数 $f(x, y)$ 在闭区域 $D$ 上的二重积分，记作：

$\iint_D f(x, y)d\sigma = \lim_{\lambda \to 0} \sum_{i=1}^{n} f(\xi_i, \eta_i)\Delta \sigma_i$

第5章 微分方程

5.1 微分方程的基本概念

含有未知函数的导数（或微分）的方程称为微分方程。未知函数是一元函数的，称为常微分方程；未知函数是多元函数的，称为偏微分方程。

微分方程中所出现的未知函数的最高阶导数的阶数，称为微分方程的阶。

5.2 一阶线性微分方程

一阶线性微分方程的标准形式：

$\frac{dy}{dx} + P(x)y = Q(x)$

其通解公式为：

$y = e^{-\int P(x)dx} \left( \int Q(x)e^{\int P(x)dx}dx + C \right)$

5.3 二阶常系数齐次线性微分方程

二阶常系数齐次线性微分方程的标准形式：

$y'' + py' + qy = 0$

其特征方程为：

$r^2 + pr + q = 0$

根据特征根的不同情况，通解分为三种形式：

  • 两个不同实根 $r_1 \neq r_2$：$y = C_1e^{r_1x} + C_2e^{r_2x}$
  • 两个相等实根 $r_1 = r_2 = r$：$y = (C_1 + C_2x)e^{rx}$
  • 一对共轭复根 $r = \alpha \pm i\beta$：$y = e^{\alpha x}(C_1\cos\beta x + C_2\sin\beta x)$

第6章 微分中值定理及导数的应用

6.1 费马引理

设函数 $f(x)$ 在点 $x_0$ 的某邻域 $U(x_0)$ 内有定义，且在 $x_0$ 处可导，若对任意 $x\in U(x_0)$，有

$f(x) \le f(x_0)$ 或 $f(x) \ge f(x_0)$

则

$f'(x_0) = 0$

6.2 罗尔定理（Rolle）

条件：

  • $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上连续
  • $f(x)$ 在 $(a,b)$ 内可导
  • $f(a) = f(b)$

结论：至少存在一点 $\xi\in(a,b)$，使得

$f'(\xi) = 0$

6.3 拉格朗日中值定理（Lagrange）

条件：

  • $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上连续
  • $f(x)$ 在 $(a,b)$ 内可导

结论：至少存在一点 $\xi\in(a,b)$，使得

$f(b) - f(a) = f'(\xi)(b - a)$

有限增量形式：

$f(x+\Delta x) - f(x) = f'(x+\theta\Delta x)\cdot \Delta x,\quad 0<\theta<1$

6.4 柯西中值定理（Cauchy）

条件：

  • $f(x),F(x)$ 在 $[a,b]$ 上连续
  • $f(x),F(x)$ 在 $(a,b)$ 内可导
  • $F'(x)\neq 0,\ x\in(a,b)$

结论：至少存在一点 $\xi\in(a,b)$，使得

$\frac{f(b)-f(a)}{F(b)-F(a)} = \frac{f'(\xi)}{F'(\xi)}$

6.5 泰勒公式（Taylor）

带拉格朗日余项的 $n$ 阶泰勒公式：

\[ \begin{aligned} f(x) &= f(x_0) + f'(x_0)(x-x_0) + \frac{f''(x_0)}{2!}(x-x_0)^2 + \cdots \\ &\quad + \frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n + \frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!}(x-x_0)^{n+1} \end{aligned} \]

麦克劳林公式（$x_0=0$）：

\[ f(x) = f(0)+f'(0)x+\frac{f''(0)}{2!}x^2+\cdots+\frac{f^{(n)}(0)}{n!}x^n + \frac{f^{(n+1)}(\theta x)}{(n+1)!}x^{n+1} \]

6.6 常用麦克劳林公式

$e^x = 1+x+\dfrac{x^2}{2!}+\cdots+\dfrac{x^n}{n!}+o(x^n)$
$\sin x = x-\dfrac{x^3}{3!}+\dfrac{x^5}{5!}-\cdots+(-1)^n\dfrac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}+o(x^{2n+1})$
$\cos x = 1-\dfrac{x^2}{2!}+\dfrac{x^4}{4!}-\cdots+(-1)^n\dfrac{x^{2n}}{(2n)!}+o(x^{2n})$
$\ln(1+x) = x-\dfrac{x^2}{2}+\dfrac{x^3}{3}-\cdots+(-1)^{n-1}\dfrac{x^n}{n}+o(x^n)$

6.7 洛必达法则（L'Hospital）

若为 $\dfrac{0}{0}$ 或 $\dfrac{\infty}{\infty}$ 型，且 $\lim\dfrac{f'(x)}{F'(x)}$ 存在或为无穷大，则

$\lim\dfrac{f(x)}{F(x)} = \lim\dfrac{f'(x)}{F'(x)}$

6.8 函数单调性与极值

单调性判定：

f'(x) > 0 \Rightarrow f(x)\nearrow;\quad f'(x) < 0 \Rightarrow f(x)\searrow

极值第一充分条件：$f'(x)$ 由正变负 ⇒ 极大值；由负变正 ⇒ 极小值。

极值第二充分条件：若 $f'(x_0)=0,\ f''(x_0)\neq0$，则

f''(x_0) < 0 \Rightarrow \text{极大值};\quad f''(x_0) > 0 \Rightarrow \text{极小值}

6.9 曲线的凹凸性与拐点

凹凸性判定：

f''(x) > 0 \Rightarrow \text{凹};\quad f''(x) < 0 \Rightarrow \text{凸}

拐点：二阶导数变号的点 $(x_0,f(x_0))$，满足 $f''(x_0)=0$ 或不存在。

6.10 曲率公式

曲线 $y=f(x)$ 的曲率：

K = \frac{|y''|}{\left(1+y'^2\right)^{\frac{3}{2}}}

曲率半径：

\rho = \frac{1}{K}

第7章 向量代数与空间解析几何

7.1 向量的点积（数量积）

$\vec{a}\cdot\vec{b} = |\vec{a}||\vec{b}|\cos\theta$
$\vec{a}\cdot\vec{b} = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z$

7.2 向量的叉积（向量积）

$|\vec{a}\times\vec{b}| = |\vec{a}||\vec{b}|\sin\theta$
$\vec{a}\times\vec{b}=\begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ a_x & a_y & a_z \\ b_x & b_y & b_z \end{vmatrix}$

7.3 平面方程

点法式：

$A(x-x_0)+B(y-y_0)+C(z-z_0)=0$

一般式：

$Ax+By+Cz+D=0$

7.4 直线方程

对称式：

$\frac{x-x_0}{m}=\frac{y-y_0}{n}=\frac{z-z_0}{p}$

7.5 常见二次曲面

球面：$x^2+y^2+z^2=R^2$

椭球面：$\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}+\dfrac{z^2}{c^2}=1$

抛物面：$z=\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}$（椭圆抛物面）

双曲面：$\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}-\dfrac{z^2}{c^2}=1$（单叶双曲面）

第8章 无穷级数

8.1 收敛级数的性质

若 $\sum u_n$ 收敛，则 $\lim\limits_{n\to\infty}u_n=0$（必要条件，不充分）

若 $\sum u_n$ 和 $\sum v_n$ 都收敛，则 $\sum (u_n\pm v_n)$ 也收敛，且

$\sum (u_n\pm v_n) = \sum u_n \pm \sum v_n$

8.2 正项级数判别法

比值判别法（达朗贝尔）：

$\lim_{n\to\infty}\frac{u_{n+1}}{u_n}=\rho$

$\rho < 1$ 收敛，$\rho > 1$ 发散，$\rho = 1$ 需进一步判断

根值判别法（柯西）：

$\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{u_n}=\rho$

判别规则同比值判别法

比较判别法：若 $0 \le u_n \le v_n$，则

  • $\sum v_n$ 收敛 ⇒ $\sum u_n$ 收敛
  • $\sum u_n$ 发散 ⇒ $\sum v_n$ 发散

8.3 交错级数（莱布尼茨判别法）

交错级数 $\sum (-1)^{n-1}u_n$（$u_n > 0$）满足：

  • $u_n \ge u_{n+1} \ (n=1,2,\dots)$
  • $\lim\limits_{n\to\infty}u_n = 0$

则级数收敛，且余项 $|r_n| \le u_{n+1}$

8.4 幂级数

幂级数 $\sum_{n=0}^{\infty}a_nx^n$ 的收敛半径：

$R=\frac{1}{\lim\limits_{n\to\infty}\sqrt[n]{|a_n|}}$ 或 $R=\frac{1}{\lim\limits_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|}$

收敛区间：$(-R, R)$，需单独判断端点敛散性

8.5 常用幂级数展开

$\frac{1}{1-x}=\sum_{n=0}^{\infty}x^n,\ |x|<1$
$e^x=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^n}{n!},\ x\in(-\infty,+\infty)$
$\sin x=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!},\ x\in(-\infty,+\infty)$
$\cos x=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n\frac{x^{2n}}{(2n)!},\ x\in(-\infty,+\infty)$
$\ln(1+x)=\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1}\frac{x^n}{n},\ x\in(-1,1]$

第9章 曲线积分与曲面积分

9.1 对弧长的曲线积分（第一类）

定义：

$\int_L f(x,y)ds = \lim_{\lambda\to0}\sum_{i=1}^n f(\xi_i,\eta_i)\Delta s_i$

参数方程计算法（$L: x=\varphi(t), y=\psi(t), \alpha\le t\le\beta$）：

$\int_L f(x,y)ds = \int_{\alpha}^{\beta} f(\varphi(t),\psi(t))\sqrt{\varphi'^2(t)+\psi'^2(t)}dt$

9.2 对坐标的曲线积分（第二类）

定义：

$\int_L Pdx+Qdy = \lim_{\lambda\to0}\sum_{i=1}^n [P(\xi_i,\eta_i)\Delta x_i + Q(\xi_i,\eta_i)\Delta y_i]$

参数方程计算法（$L: x=\varphi(t), y=\psi(t), t$ 从 $\alpha$ 到 $\beta$）：

$\int_L Pdx+Qdy = \int_{\alpha}^{\beta} [P(\varphi(t),\psi(t))\varphi'(t) + Q(\varphi(t),\psi(t))\psi'(t)]dt$

9.3 格林公式（Green）

设闭区域 $D$ 由分段光滑的曲线 $L$ 围成，$P,Q$ 在 $D$ 上有一阶连续偏导数，则

$\oint_L Pdx+Qdy = \iint_D\left(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\right)dxdy$

其中 $L$ 是 $D$ 的取正向的边界曲线

9.4 高斯公式（Gauss）

设空间闭区域 $\Omega$ 由分片光滑的闭曲面 $\Sigma$ 围成，$P,Q,R$ 在 $\Omega$ 上有一阶连续偏导数，则

$\underset{\Sigma}{∯} Pdydz+Qdzdx+Rdxdy = \underset{\Omega}{∭}\left(\frac{\partial P}{\partial x}+\frac{\partial Q}{\partial y}+\frac{\partial R}{\partial z}\right)dV$

其中 $\Sigma$ 是 $\Omega$ 的取外侧的边界曲面

9.5 斯托克斯公式（Stokes）

设 $\Gamma$ 为分段光滑的空间有向闭曲线，$\Sigma$ 是以 $\Gamma$ 为边界的分片光滑的有向曲面，$P,Q,R$ 在包含 $\Sigma$ 在内的一个空间区域内有一阶连续偏导数，则

$\oint_{\Gamma} Pdx+Qdy+Rdz = \iint_{\Sigma} \begin{vmatrix} dydz & dzdx & dxdy \\ \frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z} \\ P & Q & R \end{vmatrix}$

第10章 高等数学常用公式大全

10.1 基本导数公式

(x^\mu)'=\mu x^{\mu-1},\quad (e^x)'=e^x,\quad (\ln x)'=\frac1x
(\sin x)'=\cos x,\quad (\cos x)'=-\sin x
(\tan x)'=\sec^2 x,\quad (\cot x)'=-\csc^2 x
(\sec x)'=\sec x\tan x,\quad (\csc x)'=-\csc x\cot x
(\arcsin x)'=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}},\quad (\arccos x)'=-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}
(\arctan x)'=\frac{1}{1+x^2},\quad (\text{arccot }x)'=-\frac{1}{1+x^2}

10.2 基本积分公式

\int x^\mu dx=\frac{x^{\mu+1}}{\mu+1}+C\ (\mu\neq-1)
\int\frac1x dx=\ln|x|+C
\int e^x dx=e^x+C
\int\sin x dx=-\cos x+C
\int\cos x dx=\sin x+C
\int\tan x dx=-\ln|\cos x|+C
\int\cot x dx=\ln|\sin x|+C
\int\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}dx=\arcsin x+C
\int\frac{1}{1+x^2}dx=\arctan x+C

10.3 等价无穷小（x→0）

\sin x\sim x,\quad \tan x\sim x,\quad \arcsin x\sim x,\quad \arctan x\sim x
\ln(1+x)\sim x,\quad e^x-1\sim x,\quad 1-\cos x\sim\frac12x^2
(1+x)^\alpha-1\sim\alpha x,\quad a^x-1\sim x\ln a

10.4 三角函数公式

\sin^2x+\cos^2x=1,\quad 1+\tan^2x=\sec^2x,\quad 1+\cot^2x=\csc^2x
\sin2x=2\sin x\cos x,\quad \cos2x=\cos^2x-\sin^2x=2\cos^2x-1=1-2\sin^2x
\sin^2\frac{x}{2}=\frac{1-\cos x}{2},\quad \cos^2\frac{x}{2}=\frac{1+\cos x}{2}
\sin A\pm\sin B=2\sin\frac{A\pm B}{2}\cos\frac{A\mp B}{2}

10.5 分部积分公式

\int u dv = uv - \int v du

常用优先级：反三角函数 > 对数函数 > 幂函数 > 指数函数 > 三角函数